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设球 $\Omega_1: x^2+y^2+z^2 \leq R^2$ 和球 $\Omega_2: x^2+y^2+z^2$ $\leq 2 R z(R>0)$ 的公共部分体积为 $\frac{5 \pi}{12}$ 时，求 $\Omega_1$ 的表面位于 $\Omega_2$ 内的部分 $S_1$ 的面积．
                        
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