如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线 $y=\frac{1}{2} x^2+b x+c$ 与直线 $A B$ 交于点 $A(0,-4), B(4,0)$.
（1）求该抛物线 $\mathrm{H}$ 函数表达式;
(2) 点 $P$ 是直线 $A B$ 下方拋物线上的一动点, 过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线交 $A B$ 于点 $C$, 过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行 线交 $x$ 轴于点 $D$, 求 $P C+P D$ 的最大值及此时点 $P$ 的坐标;
(3) 在 (2) 中 $P C+P D$ 取得最大值的条件下, 将该抛物线沿水平方向向左平移 5 个单位, 点 $E$ 为点 $P$ 的对应点, 平移后的抛物线与 $y$ 轴交于点 $F, M$ 为平移后的抛物线的对称轴上一点. 在平移后的抛物线 上确定一点 $N$, 使得以点 $E, F, M, N$ 为顶点的四边形是平行四边形, 写出所有符合条件的点 $N$ 的 坐标, 并写出求解点 $N$ 的坐标的其中一种情况的过程.
（1）求该抛物线 $\mathrm{H}$ 函数表达式;
(2) 点 $P$ 是直线 $A B$ 下方拋物线上的一动点, 过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线交 $A B$ 于点 $C$, 过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行 线交 $x$ 轴于点 $D$, 求 $P C+P D$ 的最大值及此时点 $P$ 的坐标;
(3) 在 (2) 中 $P C+P D$ 取得最大值的条件下, 将该抛物线沿水平方向向左平移 5 个单位, 点 $E$ 为点 $P$ 的对应点, 平移后的抛物线与 $y$ 轴交于点 $F, M$ 为平移后的抛物线的对称轴上一点. 在平移后的抛物线 上确定一点 $N$, 使得以点 $E, F, M, N$ 为顶点的四边形是平行四边形, 写出所有符合条件的点 $N$ 的 坐标, 并写出求解点 $N$ 的坐标的其中一种情况的过程.