题号:2285    题型:解答题    来源:2022年重庆市中考数学试卷A卷
如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线 $y=\frac{1}{2} x^2+b x+c$ 与直线 $A B$ 交于点 $A(0,-4), B(4,0)$.

(1)求该抛物线 $\mathrm{H}$ 函数表达式;
(2) 点 $P$ 是直线 $A B$ 下方拋物线上的一动点, 过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线交 $A B$ 于点 $C$, 过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行 线交 $x$ 轴于点 $D$, 求 $P C+P D$ 的最大值及此时点 $P$ 的坐标;
(3) 在 (2) 中 $P C+P D$ 取得最大值的条件下, 将该抛物线沿水平方向向左平移 5 个单位, 点 $E$ 为点 $P$ 的对应点, 平移后的抛物线与 $y$ 轴交于点 $F, M$ 为平移后的抛物线的对称轴上一点. 在平移后的抛物线 上确定一点 $N$, 使得以点 $E, F, M, N$ 为顶点的四边形是平行四边形, 写出所有符合条件的点 $N$ 的 坐标, 并写出求解点 $N$ 的坐标的其中一种情况的过程.
0 条评论 分享 0 人点赞 收藏 ​ ​ 1 次查看 我来讲解
答案:
【小问 1 详解】
解: 将点 $A(0,-4), B(4,0)$ 代入 $y=\frac{1}{2} x^2+b x+c$ 得: $\left\{\begin{array}{l}c=-4 \\ 8+4 b+c=0\end{array}\right.$,
解得: $\left\{\begin{array}{l}c=-4 \\ b=-1\end{array}\right.$,
$\therefore$ 该抛物线的函数表达式为: $y=\frac{1}{2} x^2-x-4$;


【小问 2 详解】
如图, 设 $P D$ 交 $B C$ 于 $H$,
$$
\begin{aligned}
&\because A(0,-4), B(4,0), \\
&\therefore O A=O B=4,
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
&\therefore \angle O B A=\angle O A B=45^{\circ}, \\
&\because P C / / O B, P D / / O A, \\
&\therefore \angle B C P=\angle O B A=45^{\circ}, \angle P H C=\angle B H D=\angle O A B=45^{\circ}, \\
&\therefore P C=P H,
\end{aligned}
$$
设直线 $A B$ 的解析式为 $y=k x+b$,
则 $\left\{\begin{array}{l}b=-4 \\ 4 k+b=0\end{array}\right.$, 解得: $\left\{\begin{array}{l}b=-4 \\ k=1\end{array}\right.$,
$\therefore$ 直线 $A B$ 的解析式为 $y=x-4$,
设 $P\left(t, \frac{1}{2} t^2-t-4\right)$, 则 $H(t, t-4), D(t, 0)$,
$$
\therefore P C+P D=P H+P D=t-4-\left(\frac{1}{2} t^2-t-4\right)+\left(-\frac{1}{2} t^2+t+4\right)=-t^2+3 t+4=-\left(t-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{25}{4} \text {, }
$$
$\therefore$ 当 $t=\frac{3}{2}$ 时, $P C+P D$ 取得最大值 $\frac{25}{4}$, 此时 $P\left(\frac{3}{2},-\frac{35}{8}\right)$;



【小问3详解】
由题意得: 平移后拋物线解析式为 $y=\frac{1}{2}(x+5)^2-(x+5)-4=\frac{1}{2} x^2+4 x+\frac{7}{2}, E\left(-\frac{7}{2},-\frac{35}{8}\right)$, $\therefore F\left(0, \frac{7}{2}\right)$,
$\because$ 抛物线 $y=\frac{1}{2} x^2+4 x+\frac{7}{2}$ 的对称轴为 $x=-4$,
$\therefore$ 设 $M(-4, m), N\left(n, \frac{1}{2} n^2+4 n+\frac{7}{2}\right)$,
分情况讨论:
(1) 当 $E F$ 为对角线时,
则 $-4+n=-\frac{7}{2}$,
解得: $n=\frac{1}{2}$, 此时 $\frac{1}{2} n^2+4 n+\frac{7}{2}=\frac{45}{8}$,
$$
\therefore N_1\left(\frac{1}{2}, \frac{45}{8}\right) \text {; }
$$
(2)当 $E M$ 为对角线时,
则 $-\frac{7}{2}-4=n$, 即 $n=-\frac{15}{2}$,
此时 $\frac{1}{2} n^2+4 n+\frac{7}{2}=\frac{13}{8}$,
$$
\therefore N_2\left(-\frac{15}{2}, \frac{13}{8}\right) \text {; }
$$
(3)当 $E N$ 为对角线时,
则 $-\frac{7}{2}+n=-4$, 即 $n=-\frac{1}{2}$,
此时 $\frac{1}{2} n^2+4 n+\frac{7}{2}=\frac{13}{8}$,
$$
\therefore N_3\left(-\frac{1}{2}, \frac{13}{8}\right) \text {, }
$$
综上所述, 点 $N$ 的坐标为: $N_1\left(\frac{1}{2}, \frac{45}{8}\right), N_2\left(-\frac{15}{2}, \frac{13}{8}\right), N_3\left(-\frac{1}{2}, \frac{13}{8}\right)$.
①因本站题量较多,无法仔细核对每一个试题,如果试题有误,请点击 编辑进行更正。
②如果您有更好的解答,可以点击 我要评论进行评论。
③如果您想挑战您的朋友,点击 我要分享 下载题目图片发给好友。

关闭