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函数 $f(x)=2 \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)(\omega>0)$ 恒有 $f(x) \leq f(2 \pi)$, 且 $f(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$ 上单调递增, 则 $\omega$ 的值为
                        
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