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已知不等式 $a \ln x-\frac{1}{x}+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}-x^a \geq 0$ 在 $\left[\frac{1}{\mathrm{e}^3}, \frac{1}{\mathrm{e}^2}\right]$ 上恒成立, 则实数 $a$ 的最小值为
                        
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