数学试题讲解

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数学家发现:

\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \dots

,其中

n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n

. 利用该公式可以得到: 当

x

\in (0, \frac{π}{2})

时,

\sin x < x; \sin x > x - \frac{x^{3}}{3!}; \sin x < x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5!}; \dots

.
(1) 证明: 当

x \in (0, \frac{π}{2})

时,

\frac{\sin x}{x} > \frac{1}{2}

;
(2) 设

f (x) = m \sin x

, 当

f (x)

的定义域为

[a, b]

时,值域也为

[a, b]

,则称

[a, b]

为

f (x)

的"和谐区间". 当

m

= - 2

时,

f (x)

是否存在 "和谐区间" ? 若存在,求出

f (x)

的所有 "和谐区间", 若不存在,请说明理由.