数学家发现: $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$,其中 $n!=1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n$. 利用该公式可以得到: 当 $x$ $\in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时, $\sin x < x ; \sin x>x-\frac{x^3}{3!} ; \sin x < x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5!} ; \cdots$.
(1) 证明: 当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时, $\frac{\sin x}{x}>\frac{1}{2}$;
(2) 设 $f(x)=m \sin x$, 当 $f(x)$ 的定义域为 $[a, b]$ 时,值域也为 $[a, b]$,则称 $[a, b]$ 为 $f(x)$ 的"和谐区间". 当 $m$ $=-2$ 时, $f(x)$ 是否存在 "和谐区间" ? 若存在,求出 $f(x)$ 的所有 "和谐区间", 若不存在,请说明理由.