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初始时, 黑板上写有一个数 1 .

第1步操作为：将 1 擦掉，并在黑板上写上两个和为 1 的非负实数，记其中的最小者为 $L_2$ 。

对 $k \geq 2$, 第 $k$ 步操作为: 任意擦掉黑板上的一个数, 并在黑板上写上两个和为刚擦掉的数的非负实数, 记此时黑板上 $k+1$ 个数中的最小者为 $L_{k+1}$.求 $\sum_{k=2}^{2024} L_k$ 的最大可能值.
                        
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