如图, 点 $A$ 在第一象限, $A C \perp x$ 轴, 垂足为 $C, O A=2 \sqrt{5}, \tan A=\frac{1}{2}$, 反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图像
经过 $O A$ 的中点 $B$, 与 $A C$ 交于点 $D$.
(1) 求 $k$ 值;
(2) 求 $\triangle O B D$ 的面积.
经过 $O A$ 的中点 $B$, 与 $A C$ 交于点 $D$.
(1) 求 $k$ 值;
(2) 求 $\triangle O B D$ 的面积.