数学试题讲解

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如图，在平面直角坐标系中，抛物线

y = a x^{2} + b x + 4 (a \neq 0)

经过点

(- 1, 6)

，与

y

轴交于点

C

，与

x

轴交于

A ， B

两点（A在

B

的左侧

)

，连接

A C, B C, \tan ∠ C B A = 4

.

（1）求抛物线的表达式；
（2）点

P

是射线

C A

上方抛物线上的一动点，过点

P

作

P E ⊥ x

轴，垂足为

E

，交

A C

于点

D

. 点

M

是线段

D E

上一动点，

M N ⊥ y

轴，垂足为

N

，点

F

为线段

B C

的中点，连接

A M, N F

. 当线段

P D

长度取得最大值时，求

A M + M N + N F

的最小值;
（3）将该抛物线沿射线

C A

方向平移，使得新抛物线经过 (2) 中线段

P D

长度取得最大值时的点

D

，且与直线

A C

相交于另一点

K

. 点

Q

为新抛物线上的一个动点，当

∠ Q D K = ∠ A C B

时，直接写出所有符合条件的点

Q

的坐标.