数学试题讲解

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已知椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左、右焦点分别为

F_{1} 、 F_{2}

, 离心率为

\frac{1}{2}

, 经过点

F_{1}

且倾斜角为

θ (0 < θ < \frac{π}{2})

的直线

l

与椭圆交于

A 、 B

两点 (其中点

A

在

x

轴上方),

△ A B F_{2}

的周长为 8.
(1) 求椭圆

C

的标准方程;
(2) 如图, 将平面

x O y

沿

x

轴折叠, 使

y

轴正半轴和

x

轴所确定的半平面 (平面

A F_{1} F_{2}

) 与

y

轴负半轴和

x

轴所确定的半平面 (平面

B F_{1} F_{2}

) 互相垂直.

①若

θ = \frac{π}{3}

, 求三棱椎

A - B F_{1} F_{2}

的体积,
② 若

θ = \frac{π}{3}

, 异面直线

A F_{1}

和

B F_{2}

所成角的余弦值;
③ 是否存在

θ (0 < θ < \frac{π}{2})

, 使得

△ A B F_{2}

折叠后的周长为与折叠前的周长之比为

\frac{15}{16}

? 若存在, 求

\tan θ

的值; 若不存在, 请说明理由.