（本题满分17分）记 $U=\{1,2, \ldots, 100\}$. 对数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}\left(\mathrm{n} \in \mathrm{N}^*\right)$ 和 $\mathrm{U}$ 的子集 $T$, 若 $\mathrm{T}=\varnothing$, 定义 $\mathrm{S}_{\mathrm{T}}=0$;
若 $\mathrm{T}=\left\{\mathrm{t}_1, \mathrm{t}_2, \ldots, \mathrm{t}_{\mathrm{k}}\right\}$, 定义 $\mathrm{S}_{\mathrm{T}}=\mathrm{a}_{\mathrm{t} 1}+\mathrm{a}_{\mathrm{t} 2}+\ldots+\mathrm{a}_{\mathrm{tk}}$. 例如: $\mathrm{T}=\{1,3,66\}$ 时, $\mathrm{S}_{\mathrm{T}}=\mathrm{a}_1+\mathrm{a}_3$ $+a_{66}$. 现设 $\left\{a_n\right\}\left(n \in N^*\right)$ 是公比为 3 的等比数列, 且当 $T=\{2,4\}$ 时, $S_T=30$.
(1) 求数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式;
(2) 对任意正整数 $\mathrm{k}(1 \leq \mathrm{k} \leq 100)$, 若 $\mathrm{T}\{1,2, \ldots, \mathrm{k}\}$, 求证: $\mathrm{S}_{\mathrm{T}} < \mathrm{a}_{\mathrm{k}}+1$;
(3) 设 $\mathrm{C} \subseteq \mathrm{U}, \mathrm{D} \subseteq \mathrm{U}, \mathrm{SC} \geq \mathrm{SD}$, 求证: $\mathrm{S}_{\mathrm{C}}+\mathrm{S}_{\mathrm{C} \cap \mathrm{D}} \geq 2 \mathrm{~S}_{\mathrm{D}}$.