题号:988    题型:填空题    来源:1997年全国硕士研究生招生考试试题
类型:考研真题
设 $B$ 是秩为 2 的 $5 \times 4$ 矩阵, $\alpha_{1}=[1,1,2,3]^{T}, \alpha_{2}=[-1,1,4,-1]^{T}, \alpha_{3}=[5,-$ $1,-8,9)^{T}$ 是齐次线性方稇组 $B x=0$ 的解向量, 求 $B x=0$ 的解空间的一个标准正交基.
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答案:
要求 $B x=0$ 的解空间的一个标准基, 首先必须确定此解空间的维数以及相应个数的 线性无关的解.
【解析】(1) 因秩 $r(B)=2$, 故解空间的维数 $n-r(B)=4-2=2$, 又因 $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 线性无关,
$\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 是方程组 $B x=0$ 的解, 由解空间的基的定义, $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 是解空间的基.
用施密特正交化方法先将其正交化, 令:

$$
\begin{aligned}
&\beta_{1}=\alpha_{1}=[1,1,2,3]^{T} \\
&\beta_{2}=\alpha_{2}-\frac{\left(\alpha_{2}, \beta_{1}\right)}{\left(\beta_{1}, \beta_{1}\right)} \beta_{1}=[-1,1,4,-1]^{T}-\frac{5}{15}[1,1,2,3]^{T}=\frac{2}{3}[-2,1,5,-3]^{T}
\end{aligned}
$$
将其单位化, 有 $\eta_{1}=\frac{\beta_{1}}{\left|\beta_{1}\right|}=\frac{1}{\sqrt{15}}[1,1,2,3]^{T}, \eta_{2}=\frac{\beta_{2}}{\left|\beta_{2}\right|}=\frac{1}{\sqrt{39}}[-2,1,5,-3]^{T}$,
即为所求的一个标准正交基.

解析:

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