题号:985    题型:填空题    来源:1997年全国硕士研究生招生考试试题
设函数$f(u)$ 具有二阶连续导数,而 $z=f\left(\mathrm{e}^{x} \sin y\right)$ 满足方程 $ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=e^{2 x} z $ 求 $f(u)$
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答案:
(2)【分析】 $z=f\left(e^{x} \sin y\right)$ 是由一元函数 $z=f(u)$ 与二元函数 $u=e^{x} \sin y$ 复合而成的二 元函数, 它满足方程
$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=e^{2 x} z
$$

为了求 $f(u)$, 我们将用复合函数求导法, 导出 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$ 与 $f^{\prime}(u), f^{\prime \prime}(u)$ 的关系, 然后由 $(*)$ 式导出 $f(u)$ 满足的常微分方程, 从而求出 $f(u)$.
【解析】先用复合函数求导法导出
$$
\begin{array}{ll}
\frac{\partial z}{\partial x}=f^{\prime}(u) \frac{\partial u}{\partial x}=f^{\prime}(u) e^{x} \sin y, & \frac{\partial z}{\partial y}=f^{\prime}(u) \frac{\partial u}{\partial y}=f^{\prime}(u) e^{x} \cos y \\
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=f^{\prime}(u) e^{x} \sin y+f^{\prime \prime}(u) e^{2 x} \sin ^{2} y, & \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=f^{\prime \prime}(u) e^{2 x} \cos ^{2} y-f^{\prime}(u) e^{x} \sin y
\end{array}
$$
将后两式代入 $(*)$ 得 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=f^{\prime \prime}(u) e^{2 x}=e^{2 x} f(u)$, 即 $f^{\prime \prime}(u)-f(u)=0$.
这是二阶线性常系数齐次方程, 相应的特征方程 $\lambda^{2}-1=0$ 的特征根为 $\lambda=\pm 1$, 因此求得
$$
f(u)=C_{1} e^{u}+C_{2} e^{-u} \text {, 其中 } C_{1} 、 C_{2} \text { 为任意常数. }
$$
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