已知: 如图, 在 $R t \triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, A B=5 \mathrm{~cm}, A C=3 \mathrm{~cm}$, 动点 $P$ 从点 $B$ 出发沿射线 $B C$ 以 $1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度移动, 设运动的时间为 $t s$.
(1) 求 $B C$ 边的长;
(2) 当 $\triangle A B P$ 为直角三角形时, 求 $t$ 的值;
(3) 当 $t=13$ 时, 求点 $A 、 P$ 之间的距离.