题号:919    题型:解答题    来源:1996年全国硕士研究生招生考试试题
已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=5 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+c x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+6 x_{1} x_{3}-6 x_{2} x_{3}$ 的秩为 2 .
(1) 求参数 $c$ 及此二次型对应矩阵的特征值;
(2) 指出方程 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=1$ 表示何种二次曲面.
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答案:
【解析】(1) 此二次型对应的矩阵为
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
5 & -1 & 3 \\
-1 & 5 & -3 \\
3 & -3 & c
\end{array}\right)
$$
因为二次型秩 $r(f)=r(A)=2$, 由
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
5 & -1 & 3 \\
-1 & 5 & -3 \\
3 & -3 & c
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}
4 & 4 & 0 \\
-1 & 5 & -3 \\
3 & -3 & c
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}
4 & 0 & 0 \\
-1 & 6 & -3 \\
3 & -6 & c
\end{array}\right)
$$
可得 $c=3$. 再由 $A$ 的特征多项式
$$
|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}
\lambda-5 & 1 & -3 \\
1 & \lambda-5 & 3 \\
-3 & 3 & \lambda-3
\end{array}\right|=\lambda(\lambda-4)(\lambda-9)
$$
求得二次型矩阵的特征值为 $0,4,9$.

(2) 因为二次型经正交变换可化为 $4 y_{2}^{2}+9 y_{3}^{2}$, 故
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=1 \text {, 即 } 4 y_{2}{ }^{2}+9 y_{3}{ }^{2}=1 \text {. }
$$
表示椭圆柱面.

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