题号:909    题型:单选题    来源:1996年全国硕士研究生招生考试试题
设 $f(x)$ 有连续导数, $f(0)=0, f^{\prime}(0) \neq 0, F(x)=\int_{0}^{x}\left(x^{2}-t^{2}\right) f(t) \mathrm{d} t$, 且当 $x \rightarrow 0$ 时, $F^{\prime}(x)$ 与 $x^{k}$ 是同阶无穷小, 则 $k$ 等于 $(\quad)$
$A.$ 1 $B.$ 2 $C.$ 3 $D.$ 4
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答案:
C

解析:

用洛必达法则.
由题可知 $F(x)=x^{2} \int_{0}^{x} f(t) d t-\int_{0}^{x} t^{2} f(t) d t$,
对该积分上限函数求导数, 得
$F^{\prime}(x)=2 x \int_{0}^{x} f(t) d t+x^{2} f(x)-x^{2} f(x)=2 x \int_{0}^{x} f(t) d t$,
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{F^{\prime}(x)}{x^{k}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x \int_{0}^{x} f(t) d t}{x^{k}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \int_{0}^{x} f(t) d t}{x^{k-1}}$
洛 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 f(x)}{(k-1) x^{k-2}} \stackrel{\text { 洛 }}{=} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 f^{\prime}(x)}{(k-1)(k-2) x^{k-3}}$.
因为 $F^{\prime}(x)$ 与 $x^{k}$ 是同阶无穷小, 且 $f^{\prime}(0) \neq 0$, 所以 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 f^{\prime}(x)}{(k-1)(k-2) x^{k-3}}$ 为常数, 即 $k=3$ 时 有 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{F^{\prime}(x)}{x^{k}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 f^{\prime}(x)}{(k-1)(k-2) x^{k-3}}=f^{\prime}(0) \neq 0$, 故应选 (C).
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