题号:904    题型:填空题    来源:1996年全国硕士研究生招生考试试题
函数 $u=\ln \left(x+\sqrt{y^{2}+z^{2}}\right)$ 在点 $A(1,0,1)$ 处沿点 $A$ 指向点 $B(3,-2,2)$ 方向的方向导数为
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答案:
$\dfrac{1}{2}$

解析:

因为 $\vec{l}$ 与 $\overrightarrow{A B}$ 同向, 为求 $\vec{l}$ 的方向余弦, 将 $\overrightarrow{A B}=\{3-1,-2-0,2-1\}=\{2,-2,1\}$
单位化, 即得 $\vec{l}=\frac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|}=\frac{1}{3}\{2,-2,1\}=\{\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma\}$.
将函数 $u=\ln \left(x+\sqrt{y^{2}+z^{2}}\right)$ 分别对 $x, y, z$ 求偏导数得
$$
\begin{aligned}
&\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{A}=\left.\frac{1}{x+\sqrt{y^{2}+z^{2}}}\right|_{(1,0,1)}=\frac{1}{2}, \\
&\left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{A}=\left.\frac{y}{\left(x+\sqrt{y^{2}+z^{2}}\right) \sqrt{y^{2}+z^{2}}}\right|_{(1,0,1)}=0 \\
&\left.\frac{\partial u}{\partial z}\right|_{A}=\left.\frac{z}{\left(x+\sqrt{y^{2}+z^{2}}\right) \sqrt{y^{2}+z^{2}}}\right|_{(1,0,1)}=\frac{1}{2}
\end{aligned}
$$
所以
$$
\begin{aligned}
\left.\frac{\partial u}{\partial l}\right|_{A} &=\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{A} \cos \alpha+\left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{A} \cos \beta+\left.\frac{\partial u}{\partial z}\right|_{A} \cos \gamma \\
&=\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}+0 \times\left(-\frac{2}{3}\right)+\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{2}
\end{aligned}
$$
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