题号:901    题型:填空题    来源:1996年全国硕士研究生招生考试试题
设 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2 a}{x-a}\right)^{x}=8$, 则 $a=$
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答案:
$\ln 2$

解析:

方法一: $\quad \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2 a}{x-a}\right)^{x}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{3 a}{x-a}\right)^{\frac{x-a}{3 a} \cdot \frac{3 a x}{x-a}}$,
令 $\frac{3 a}{x-a}=t$, 则当 $x \rightarrow \infty$ 时, $t \rightarrow 0$,

$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{3 a}{x-a}\right)^{\frac{x-a}{3 a}}=\lim _{t \rightarrow 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e$,
即 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2 a}{x-a}\right)^{x}=e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 a x}{x-a}}=e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 a}{1}}=e^{3 a}$.
由题设有 $e^{3 a}=8$, 得 $a=\frac{1}{3} \ln 8=\ln 2$.
方法二 $: \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2 a}{x-a}\right)^{x}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1+\frac{2 a}{x}}{1-\frac{a}{x}}\right)^{x}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\left(1+\frac{2 a}{x}\right)^{x}}{\left(1-\frac{a}{x}\right)^{x}}=\frac{\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{2 a}{x}\right)^{\frac{x}{2 a} \cdot 2 a}}{\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{a}{x}\right)^{-\frac{x}{a} \cdot(-a)}}=\frac{e^{2 a}}{e^{-a}}=e^{3 a}$, 由题设有 $e^{3 a}=8$, 得 $a=\frac{1}{3} \ln 8=\ln 2$.

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