题号:837    题型:单选题    来源:2016 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\phi) \quad\left(\omega > 0,|\phi| \leqslant \frac{\pi}{2}\right), x=-\frac{\pi}{4}$ 为 $f($ $x)$ 的零点, $x=\frac{\pi}{4}$ 为 $y=f(x)$ 图象的对称轴, 且 $f(x)$ 在 $\left(\frac{\pi}{18}, \frac{5 \pi}{36}\right)$ 上单调 , 则 $\omega$ 的最大值为()
$A.$ 11 $B.$ 9 $C.$ 7 $D.$ 5
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答案:
B

解析:

解: $\because x=-\frac{\pi}{4}$ 为 $f(x)$ 的零点, $x=\frac{\pi}{4}$ 为 $y=f(x)$ 图象的对称轴, $\therefore \frac{2 n+1}{4} \cdot T=\frac{\pi}{2}$, 即 $\frac{2 n+1}{4} \cdot \frac{2 \pi}{\omega}=\frac{\pi}{2}, \quad(n \in N)$
即 $\omega=2 n+1, \quad(n \in N)$
即 $\omega$ 为正奇数,
$\because f(x)$ 在 $\left(\frac{\pi}{18}, \frac{5 \pi}{36}\right)$ 上单调, 则 $\frac{5 \pi}{36}-\frac{\pi}{18}=\frac{\pi}{12} \leqslant \frac{T}{2}$,
即 $\mathrm{T}=\frac{2 \pi}{\omega} \geqslant \frac{\pi}{6}$, 解得: $\omega \leqslant 12$,
当 $\omega=11$ 时, $-\frac{11 \pi}{4}+\phi=k \pi, k \in Z$,
$\because|\phi| \leqslant \frac{\pi}{2}$,
$\therefore \phi=-\frac{\pi}{4}$,
此时 $f(x)$ 在 $\left(\frac{\pi}{18}, \frac{5 \pi}{36}\right)$ 不单调, 不满足题意;
当 $\omega=9$ 时, $-\frac{9 \pi}{4}+\phi=k \pi, k \in Z$,
$$
\begin{aligned}
&\because|\phi| \leqslant \frac{\pi}{2} \\
&\therefore \phi=\frac{\pi}{4},
\end{aligned}
$$
此时 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\left(\frac{\pi}{18}, \frac{5 \pi}{36}\right)$ 单调, 满足题意;
故 $\omega$ 的最大值为 9 ,
故选: B.
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