平面 $\alpha$ 过正方体 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 的顶点 $\mathrm{A}, \alpha / /$ 平面 $\mathrm{CB}_{1} \mathrm{D}_{1}, \alpha \cap$面 $A B C D=m, \alpha \cap$ 平面 $A B B_{1} A_{1}=n$, 则 $m 、 n$ 所成角的正弦值为 ( )
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$