已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足: $a_1=3$, 且 $a_n\left(a_{n+1}^2-1\right)=2\left(a_n^2-1\right) a_{n+1}, n \in N^*$.
(1) 设 $b_n=a_n-\frac{1}{a_n}$, 求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 设 $c_n=a_n^2+\frac{1}{a_n^2}$, 求数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$, 并确定最小正整数 $n$, 使得 $T_n$ 为整数.