已知在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C$, 点 $O$ 在边 $A B$ 上, 点 $F$ 为边 $O B$ 中点, 以 $O$ 为圆心、 $O B$ 为半径的圆分别交 $B C 、 A C$ 于点 $D 、 E$, 联结 $E F$ 交 $O D$ 于点 $G$.
(1) 如图 1, 如果 $O G=G D$, 求证: 四边形 $C E G D$ 为平行四边形;
(2) 如图 2, 联结 $O E$, 如果 $\angle B A C=90^{\circ}$ 时, $\angle O F E=\angle D O E, A O=4$, 求边 $O B$ 的长;
(3) 联结 $B G$, 如果 $\triangle B G O$ 是以 $O B$ 为腰的等腰三角形, 且 $A O=O F$, 求 $\frac{O G}{O D}$ 的值.