集合 $A$ 中的元素个数记为 $|A|$, 若 $M \subseteq A$ 且 $|M|=2$, 则称 $M$ 为集合 $A$ 的二元子集. 已知集合 $A=\{1,2, \cdots, n\}(n \geq 3)$. 若对集合 $A$ 的任意 $m$ 个不同的二元子集 $A_1, A_2, \cdots A_m$, 均存在集合 $B$ 同时满足: (1) $B \subseteq A$ ；(2) $|B|=m$ ；(3) $|B \cap A| \mid \leq 1(1 \leq i \leq m)$, 则称集合 $A$ 具有性质 $P(m)$.
(1)当 $n=3$ 时, 若集合 $A$ 具有性质 $P(m)$, 请直接写出集合 $A$ 的所有二元子集以及 $m$ 的一个取值;
(2)当 $n=6$ 时, 判断集合 $A$ 是否具有性质 $P(4)$ ? 并说明理由;
(3)若集合 $A$ 具有性质 $P(2023)$, 求 $n$ 的最小值.