如图，已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y=x^2+b x+c$ 经过 $A(-1,4) 、 B(3,-4)$ 两点，且与 $y$ 轴 的交点为点 $C$.
( 1 ) 求此抛物线的表达式及对称轴.
(2) 求 $\cot \angle O B C$ 的值.
(3) 在抛物线上是否存在点 $P$ ，使得 $\triangle P B C$ 是以 $B C$ 为直角边的直角三角形? 如果存在，求出所有符 合条件的点 $P$ 坐标；如果不存在，请说明理由.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$