如图, $C D$ 为 $\odot O$ 直径, 弦 $A B \perp C D$ 且过半径 $O D$ 的中点 $H$, 过点 $A$ 的切线交 $C D$ 的延长线于 $G$, 且 $G H=6$, 点 $E$ 为 $\odot O$ 上一动点, $C F \perp A E$ 于点 $F$, 当点 $E$ 从点 $B$ 出发逆时针运动到点 $C$ 时, 点 $F$ 经过的路径长是
$\text{A.}$ $\frac{4}{3} \pi$
$\text{B.}$ $\frac{4 \sqrt{3}}{3} \pi$
$\text{C.}$ $\frac{8 \sqrt{3}}{3} \pi$
$\text{D.}$ $2 \sqrt{3^\pi}$