题号:715    题型:填空题    来源:1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解
设 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \left(t^{2}\right), \\ y=t \cos \left(t^{2}\right)-\int_{1}^{t^{2}} \frac{1}{2 \sqrt{u}} \cos u \mathrm{~d} u,\end{array}\right.$ 求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ 在 $t=\sqrt{\frac{\pi}{2}}$ 的值.
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答案:
$\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d t} \cdot \frac{d t}{d x}=\frac{d y}{d t} / \frac{d x}{d t}=\frac{y_{t}^{\prime}}{x_{t}^{\prime}}=\frac{\cos t^{2}-2 t^{2} \sin t^{2}-\frac{1}{2 t} \cos t^{2} \cdot 2 t}{-2 t \sin t^{2}}=t(t > 0)$, 同理 $\quad y_{x x}^{\prime \prime}=\frac{\left(y_{x}^{\prime}\right)_{t}^{\prime}}{x_{t}^{\prime}}=\frac{1}{-2 t \sin t^{2}}$,
代入参数值 $t=\sqrt{\frac{\pi}{2}}$,

$$
\left.y_{x}^{\prime}\right|_{t=\sqrt{\frac{\pi}{2}}}=\sqrt{\frac{\pi}{2}},\left.\quad y_{x x}^{\prime \prime}\right|_{t=\sqrt{\frac{\pi}{2}}}=-\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} .
$$
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