题号:700    题型:填空题    来源:2014 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
如图, 四边形 $A B C D$ 是 $\odot O$ 的内接四边形, $A B$ 的延长线与 $D C$ 的延 长线交于点 $E$, 且 $C B=C E$.
(I) 证明: $\angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{E}$;
(II) 设 $A D$ 不是 $\odot O$ 的直径, $A D$ 的中点为 $M$, 且 $M B=M C$, 证明: $\triangle A D E$ 为等 边三角形.
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答案:
证明: ( I ) $\because$ 四边形 $A B C D$ 是 $\odot O$ 的内接四边形,
$$
\begin{aligned}
&\therefore \angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{CBE}, \\
&\because \mathrm{CB}=\mathrm{CE} \\
&\therefore \angle \mathrm{E}=\angle \mathrm{CBE} \\
&\therefore \angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{E}
\end{aligned}
$$
(II ) 设 $B C$ 的中点为 $N$, 连接 $M N$, 则由 $M B=M C$ 知 $M N \perp B C$, $\therefore O$ 在直线 $\mathrm{MN}$ 上,
$\because A D$ 不是 $\odot O$ 的直径, $A D$ 的中点为 $M$,
$\therefore O M \perp A D$,
$\therefore A D / / B C$,
$\therefore \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{CBE}$,
$\because \angle \mathrm{CBE}=\angle \mathrm{E}$,
$\therefore \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{E}$,
由 ( I ) 知, $\angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{E}$,
$\therefore \triangle A D E$ 为等边三角形.
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