题号:699    题型:填空题    来源:2014 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
设函数 $f(x)=a e^{x} \ln x+\frac{b e^{x-1}}{x}$, 曲线 $y=f(x)$ 在点 (1, $f(1 )$ 处 得切线方程为 $y=e(x-1)+2$.
(I) 求 $a 、 b$;
(II ) 证明: $f(x) > 1$.
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答案:
解: ( I ) 函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的定义域为 $(0,+\infty)$, $f^{\prime}(x)=a e^{x} \ln x+\frac{a}{x} \cdot e^{x}-\frac{b}{x^{2}} \cdot e^{x-1}+\frac{b}{x} \cdot e^{x-1}$, 由题意可得 $f(1)=2, f^{\prime}(1)=e$, 故 $a=1, b=2$;

(II) 由(I ) 知, $f(x)=e^{x} \ln x+\frac{2}{x} \cdot e^{x-1}$,
$\because f(x) > 1, \quad \therefore e^{x} \ln x+\frac{2}{x} \cdot e^{x-1} > 1, \quad \therefore \ln x > \frac{1}{e^{x}}-\frac{2}{x e}$,
$\therefore f(x) > 1$ 等价于 $x \ln x > x e^{-x}-\frac{2}{e}$, 设函数 $g(x)=x \ln x$, 则 $g^{\prime}(x)=1+\ln x$,
$\therefore$ 当 $x \in\left(0, \frac{1}{e}\right)$ 时, $g^{\prime}(x) < 0$; 当 $x \in\left(\frac{1}{e},+\infty\right)$ 时, $g^{\prime}(x) > 0$. 故 $g(x)$ 在 $\left(0, \frac{1}{\mathrm{e}}\right)$ 上单调递减, 在 $\left(\frac{1}{\mathrm{e}},+\infty\right)$ 上单调递增, 从而 $g(x)$ 在( $0,+\infty)$ 上的最小值为 $g\left(\frac{1}{\mathrm{e}}\right)=-\frac{1}{\mathrm{e}}$.
设函数 $h(x)=x e^{-x}-\frac{2}{e}$, 则 $h^{\prime}(x)=e^{-x}(1-x)$.
$\therefore$ 当 $x \in(0,1)$ 时, $h^{\prime}(x) > 0$; 当 $x \in(1,+\infty)$ 时, $h^{\prime}(x) < 0$, 故 h(x)在 $(0,1)$ 上单调递增, 在 $(1,+\infty)$ 上单调递减, 从而 $h(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的最大值为 $h(1)=-\frac{1}{\mathrm{e}}$. 综上, 当 $x > 0$ 时, $g(x) > h(x)$, 即 $f(x) > 1$.
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