第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行, 这是我国继北京后第二次举办亚运会. 为迎 接这场体育盛会, 浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛, 该市 $A$ 社区举办了一场选拔赛, 选拔赛分为初赛 和决赛, 初赛通过后才能参加决赛, 决赛通过后将代表 $A$ 社区参加市亚运知识竞赛. 已知 $A$ 社区甲、乙、丙 3 位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为 $\frac{1}{2} 、 \frac{1}{2} 、 \frac{1}{3}$, 通过初赛后再通过决赛的概率均为 $\frac{1}{3}$, 假设他们之 间通过与否互不影响.
(1) 求这 3 人中至多有 2 人通过初赛的概率;
(2) 求这 3 人中至少有 1 人参加市知识竞赛的概率;
(3)某品牌商赞助了 $A$ 社区的这次知识竞赛, 给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案:
方案一: 参加了选拔赛的选手都可参与抽奖, 每人抽奖 1 次, 每次中奖的概率均为 $\frac{1}{2}$, 且每次抽奖互不影响, 中奖一次奖励 600 元;
方案二: 只参加了初赛的选手奖励 200 元, 参加了决赛的选手奖励 500 元.
若品牌商希望给予选手更多的奖励, 试从三人奖金总额的数学期望的角度分析, 品牌商选择哪种方案更好.