题号:686    题型:单选题    来源:2014 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
设 $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 且 $\tan \alpha=\frac{1+\sin \beta}{\cos \beta}$, 则( )
$A.$ $3 \alpha-\beta=\frac{\pi}{2}$ $B.$ $3 \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$ $C.$ $2 \alpha-\beta=\frac{\pi}{2}$ $D.$ $2 \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$
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答案:
C

解析:

解: 由 $\tan \alpha=\frac{1+\sin \beta}{\cos \beta}$, 得:
$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{1+\sin \beta}{\cos \beta}$
即 $\sin \alpha \cos \beta=\cos \alpha \sin \beta+\cos \alpha$,
$\sin (\alpha-\beta)=\cos \alpha=\sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$,
$\because \alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$,
$\therefore$ 当 $2 \alpha-\beta=\frac{\pi}{2}$ 时, $\sin (\alpha-\beta)=\sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos \alpha$ 成立.
故选: C.
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