2022 年 7 月 24 日 14 时 22 分, 搭载我国首个科学实验舱问天实验舱的长征五号$\mathrm{B}$ 遥三 运载火箭成功发射, 令世界瞩目. 为弘扬航天精神, $\mathrm{M}$ 大学举办了 “逐梦星辰大海一一航天 杯”知识竞赛, 竞赛分为初赛和复赛, 初赛通过后进人复赛, 复赛通过后颁发相应荣誉证书和奖品. 为鼓励学生积极参加, 学校后勤部给予一定的奖励: 只参加了初赛的学生奖励 50 元的奖品, 参加 了复赛的学生再奖励 100 元的奖品. 现有 $A, B, C$ 三名学生报名参加了这次竞赛, 已知 $A$ 通 过初赛、复赛的概率分别为 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3} ; B$ 通过初赛、复赛的概率分别为 $\frac{2}{3}, \frac{1}{2}, C$ 通过初赛和复赛 的概率与 $B$ 完全相同. 记这三人获得后勤部的奖品总额为 $X$ 元, 则 $X$ 的数学期望为