题号:675    题型:解答题    来源:2021年安徽省中考数学试卷
如图, 圆 $O$ 中两条互相垂直的弦 $A B, C D$ 交于点 $E$.
(1) $M$ 是 $C D$ 的中点, $O M=3, C D=12$, 求圆 $O$ 的半径长;
(2) 点 $F$ 在 $C D$ 上, 且 $C E=E F$, 求证: $A F \perp B D$.
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答案:
解: (1) 连接 $O D$, 如图:

$\mathrm{Q} M$ 是 $C D$ 的中点, $C D=12$,
$$
\therefore D M=\frac{1}{2} C D=6, \quad O M \perp C D, \angle O M D=90^{\circ} \text {, }
$$
Rt $\triangle O M D$ 中, $O D=\sqrt{O M^{2}+D M^{2}}$, 且 $O M=3$, $\therefore O D=\sqrt{3^{2}+6^{2}}=3 \sqrt{5}$, 即圆 $O$ 的半径长为 $3 \sqrt{5}$;


(2) 连接 $A C$, 延长 $A F$ 交 $B D$ 于 $G$, 如图:

$ A B \perp C D, \quad C E=E F$,
$\therefore A B$ 是 $C F$ 的垂直平分线,
$\therefore A F=A C$, 即 $\triangle A C F$ 是等腰三角形,
$ C E=E F$,
$\therefore \angle F A E=\angle C A E$,
$ B C=B C$
$\therefore \angle C A E=\angle C D B$,
$\therefore \angle F A E=\angle C D B$,
Rt $\triangle \mathrm{BDE}$ 中, $\angle C D B+\angle B=90^{\circ}$,
$\therefore \angle F A E+\angle B=90^{\circ}$,
$\therefore \angle A G B=90^{\circ}$,
$\therefore A G \perp B D$, 即 $A F \perp B D$.
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