答案：
析 a. 矩阵 $Q$ 可逆 $\Rightarrow \mathrm{r}(A)=\mathrm{r}(A Q)$;
b.向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 线性无关 $\Leftrightarrow \mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right)=n$.
证 因为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系, 而齐次线性方程组基础解系的线性组合仍是齐次线 性方程组的解，所以
$\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1$ 也是 $A x=0$ 的解;
$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 作为 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系, 因此线性无关。
$$
\left(\alpha_1+\alpha_2, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1
\end{array}\right),
$$
$\boldsymbol{B}=\left(\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1\right), \boldsymbol{A}=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right), \boldsymbol{K}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)$,
则 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{K}$ 。
$\text { 计算 得 }|\boldsymbol{K}|=2 \neq 0$ $ \text { 知 } \boldsymbol{K}=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1
\end{array}\right) \text { 可逆 }
$
$r(B)=r(A)$
向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 作为 $A x=0$ 的一个基础解系, 该向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的秩 $\mathrm{r}\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)=3$, 因此 $\mathrm{r}(A)=3$;
$\mathrm{r}(\boldsymbol{B})=\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=3$, 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2+\alpha_3, \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1$ 的秩 $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2+\alpha_3, \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1\right)=\mathrm{r}(\boldsymbol{B})=3$, 因此(析 $\left.\mathbf{b}\right)$
向量组 $\alpha_1+\alpha_1, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1$ 线性无关。
向量组 $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1$ 也是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系.