题号:663    题型:单选题    来源:2021年安徽省中考数学试卷
类型:中考真题
如图, 在菱形 $A B C D$ 中, $A B=2, \angle A=120^{\circ}$, 过菱形 $A B C D$ 的对称中心 $O$ 分别作边 $A B$, $B C$ 的垂线, 交各边于点 $E, F, G, H$, 则四边形 $E F G H$ 的周长为
$A.$ $3+\sqrt{3}$ $B.$ $2+2 \sqrt{3}$ $C.$ $2+\sqrt{3}$ $D.$ $1+2 \sqrt{3}$
编辑试题 我来讲解
答案:
A

解析:

解: 如图,

连接 $B D, A C$.
四边形 $A B C D$ 是菱形, $\angle B A D=120^{\circ}$,
$$
\begin{aligned}
&\therefore A B=B C=C D=A D=2, \angle B A O=\angle D A O=60^{\circ}, B D \perp A C, \\
&\therefore \angle A B O=\angle C B O=30^{\circ}, \\
&\therefore O A=\frac{1}{2} A B=1, \quad O B=\sqrt{3} O A=\sqrt{3},
\end{aligned}
$$
$ O E \perp A B, O F \perp B C$,
$$
\therefore \angle B E O=\angle B F O=90^{\circ} \text {, }
$$
在 $\triangle B E O$ 和 $\triangle B F O$ 中,
$$
\left\{\begin{array}{l}
\angle B E O=\angle B F O \\
\angle E B O=\angle F B O \\
B O=B O
\end{array}\right.
$$
$\therefore \triangle B E O \cong \triangle B F O(A A S)$,
$$
\therefore O E=O F, B E=B F
$$
$\angle E B F=60^{\circ}$,
$\therefore \triangle B E F$ 是等边三角形,
$$
\therefore E F=B E=\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2} \text {, }
$$
同法可证, $\triangle D G H, \triangle O E H, \triangle O F G$ 都是等边三角形,
$$
\therefore E F=G H=\frac{3}{2}, E H=F G=\frac{\sqrt{3}}{2} \text {, }
$$
$\therefore$ 四边形 $E F G H$ 的周长 $=3+\sqrt{3}$,

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