题号:
6595
题型:
解答题
来源:
考研数学《微积分》专项训练来源微信公众号-高度数学
(I) 证明: 方程 $x=1+2 \ln x$ 在 $(e,+\infty)$ 内有唯一实根 $\xi$;
(II) 取 $x_0 \in(e, \xi)$, 令 $x_n=1+2 \ln x_{n-1}(n=1,2, \cdots)$, 证明: $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\xi$.
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答案：
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证 (I) 令 $f(x)=x-1-2 \ln x$, 则 $f(\mathrm{e})=\mathrm{e}-3 < 0$, 且
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty}(x-1-2 \ln x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(1-\frac{1}{x}-\frac{2 \ln x}{x}\right)=+\infty .
$$
由零点定理, $f(x)=0$ 在 $(e,+\infty)$ 内至少有一个实根. 又由于
$$
f^{\prime}(x)=1-\frac{2}{x}>0, x \in(e,+\infty),
$$
故 $f(x)=0$ 在 $(\mathrm{e},+\infty)$ 内有唯一实根, 记为 $\xi$.
(II) 由 (I) 知, 当 $x \in(e, \xi)$ 时, $f(x) < 0$, 即 $1+2 \ln x>x$, 故当 $\mathrm{e} < x_0 < \xi$ 时,
$$
\begin{gathered}
x_1=1+2 \ln x_0>x_0, \\
x_1=1+2 \ln x_0 < 1+2 \ln \xi=\xi .
\end{gathered}
$$
假设 $x_n>x_{n-1}$, 且 $x_n < \xi$, 则有
$$
\begin{gathered}
x_{n+1}=1+2 \ln x_n>x_n, \\
x_{n+1}=1+2 \ln x_n < 1+2 \ln \xi=\xi .
\end{gathered}
$$
由数学归纳法, 知 $\left\{x_n\right\}$ 单调增加有上界, 故 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在, 记 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=A$. 对 $x_n=1+2 \ln x_{n-1}$ 左右两端 同时取极限, 有 $A=1+2 \ln A$, 即 $A$ 为方程 $x=1+2 \ln x$ 的实根. 由 (I) 可知, $\lim x_n=A=\xi$.
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