如图所示，在磁感应强度为 B=2T，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，有一个由两条曲线状的金属导线及两电阻（图中黑点表示）组成的固定导轨，两电阻的阻值分别为 R1=3Ω、R2=6Ω，两电阻的体积大小可忽略不计，两条导线的电阻忽略不计且中间用绝缘材料隔开，导轨平面与磁场垂直（位于纸面内），导轨与磁场边界（图中虚线）相切，切点为 A．现有一根电阻不计、足够长的金属棒 MN 与磁场边界重叠，在 A 点对金属棒 MN 施加一个方向与磁场垂直、位于导轨平面内的并与磁场边界垂直的拉力 F，将金属棒 MN 以速度 v=5m/s匀速向右拉，金属棒 MN 与导轨接触良好，以切点为坐标原点，以 F 的方向为正方向建立 x轴，两条导线的形状符合曲线方程$y= \pm 2 \sqrt{2} \sin \frac{\pi}{4} \times \mathrm{m} .$．

求：（1）推导出感应电动势 e 的大小与金属棒的位移 x 的关系式；
（2）整个过程中力 F 所做的功；
（3）从 A 到导轨中央的过程中通过 R1的电荷量