题号:
6542
题型:
解答题
来源:
浙江省金华市2023年中考一模数学试题
如图，已知 $\odot C$ 过菱形 $A B C D$ 的三个顶点 $B, A, D$, 连结 $B D$, 过点 $A$ 作 $A E \| B D$ 交射线 $C B$ 于点 $E$.
(1) 求证: $A E$ 是 $\odot C$ 的切线.
(2) 若半径为 2 , 求图中线段 $A E$ 、线段 $B E$ 和 $\widehat{\mathrm{AB}}$ 围成的部分的面积.
(3) 在 (2) 的条件 $F$, 在 $\odot C$ 上取点 $F$, 连结 $A F$, 使 $\angle D A F=15^{\circ}$, 求点 $F$ 到直线 $A D$ 的距离.
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答案：
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（1）证明：如图1中，连结AC，
$\because$ 四边形 $A B C D$ 是棱形，
$$
\begin{aligned}
& \therefore A C \perp B D, \\
& \text { 又 } \because B D \| A E, \\
& \therefore A C \perp A E,
\end{aligned}
$$
$\therefore A E$ 是 $\odot O$ 的切线.
(2) 如图1中, $\because$ 四边形 $A B C D$ 是菱形,
$$
\begin{aligned}
& \therefore A B=B C, \\
& \text { 又 } \because A C=B C, \\
& \therefore \triangle A B C \text { 是等讱三角形, } \\
& \therefore \angle A C B=60^{\circ}, \\
& \because A C=2, \\
& \therefore A E=A C \cdot \tan 60^{\circ}=2 \sqrt{3}, \\
& \therefore S_{\text {阴 }}=S_{\triangle A E C}-S_{\text {扇形 } A C B}=\frac{1}{2} \times 2 \times 2 \sqrt{3}-\frac{60 \cdot \pi \cdot 2^2}{360}=2 \sqrt{3}-\frac{2}{3} \pi .
\end{aligned}
$$
（3）①如图2中，当点F在$\widehat{A D}$上时，
$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
& \because \angle D A F=15^{\circ}, \\
& \therefore \angle D C F=30^{\circ}, \\
& \because \angle A C D=60^{\circ}, \\
& \therefore \angle A C F=\angle F C D, \\
& \therefore \text { 点F是弧 } A D \text { 的中点, } \\
& \therefore C F \perp A D, \\
& \therefore \text { 点 } F \text { 到直线 } A D \text { 的距离 }=C F-C A \cdot \cos 30^{\circ}=2-\sqrt{3} .
\end{aligned}\\
&\text {②如图3中, 当点 } F \text { 在优弧 } \widehat{\mathrm{BD}} \text { 上时, }
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
& \because \angle D A F=15^{\circ}, \\
& \therefore \angle D C F=30^{\circ}, \\
& \text { 过点C作 } C G \perp A D \text { 于 } D, \text { 过点 } F \text { 作 } F H \perp C G \text { 于 } H,
\end{aligned}
$$
可得 $\angle A F H=15^{\circ}, \angle H F C=30^{\circ}$,
$$
\therefore C H=1 \text {, }
$$
$\therefore$ 点 $F$ 到直线 $A D$ 的距离 $=C G-C H=A C \cdot \cos 30^{\circ}-C H=\sqrt{3}-1$.
绎上所述, 满足条件的点 $F$ 到直线 $A D$ 的距离为 $2-\sqrt{3}$ 或 $\sqrt{3}-1$.
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