2023年普通高等学校招生全国统一考试答案模拟试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公比为 2 , 数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_1=2, b_2=3, a_n b_{n+1}-a_n=2^n b_n$.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 记 $S_n$ 为数列 $\left\{\frac{b_n}{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, 证明: $1 \leqslant S_n < 3$.

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答案：

解: (1) 当 $n=1$ 时, $a_1 b_2-a_1=2 b_1$,
又 $b_1=2, b_2=3$, 解得 $a_1=2$. (2 分)
所以 $\left\{a_n \mid\right.$ 是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列,
故 $a_n=2 \times 2^{n-1}=2^n$. (4 分)
则 $2^n b_{n+1}-2^n=2^n b_n$, 即 $b_{n+1}=b_n+1$.

所以 $\left\{b_n \mid\right.$ 是以 2 为首项, 1 为公差的等差数列, 故 $b_n=2+(n-1) \times 1=n+1$. (6 分)
(2) 由 (1) 可得 $a_n=2^n, b_n=n+1$, 所以 $\frac{b_n}{a_n}=\frac{n+1}{2^n}$.
则 $S_n=\frac{2}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+\cdots+\frac{n+1}{2^n}(1)$, 来源: 高三答案公众号 $\frac{1}{2} S_n=\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{4}{2^4}+\cdots+\frac{n+1}{2^{n+1}}(2),(8$ 分)
(1)-(2)可得 $\frac{1}{2} S_n=1+\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^n}\right)-\frac{n+1}{2^{n+1}}$
$$
=1+\frac{\frac{1}{2^2}\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right]}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n+1}{2^{n+1}}=\frac{3}{2}-\frac{n+3}{2^{n+1}},
$$
所以 $S_n=3-\frac{n+3}{2^n} < 3$. (10 分)
因为 $S_{n+1}-S_n=3-\frac{n+4}{2^{n+1}}-3+\frac{n+3}{2^n}=\frac{n+2}{2^{n+1}}>0$, 所以 $\left\{S_n\right\}$ 是递增数列. 则 $S_n \geqslant S_1=3-\frac{1+3}{2}=1$, 故 $1 \leqslant S_n < 3 .(12$ 分)

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