某设计师结合数学知识设计一款沙发, 沙发三视图如图 1 所示, 将沙发侧面展示 图简化后, 得到图 2 所示图形. 为了解沙发相关性能, 设计师将图形放人平面直角坐标系, 其中曲线 $A B$ 是反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$ 的一段图象, 线段 $B D$ 是一次函数 $y=\frac{1}{5} x+b$ 的一 段图像,点 $B(20,32)$, 沙发腿 $D E \perp x$ 轴,请你根据图形解决以下问题:
(1) 请求出反比例函数表达式和一次函数表达式 (不要求写 $x$ 的取值范围);
(2) 过点 $A$ 向 $x$ 轴作垂线, 交 $x$ 轴于点 $F$, 已知 $C F=4 \mathrm{~cm}, D E=40 \mathrm{~cm}, \tan \alpha=4$, 设计师想用一 个长方体箱子将沙发放进去, 则这个长方体箱子长、宽、高至少分别是多少?