题号:6467    题型:解答题    来源:程守洙 江之勇主编《普通物理学》
一轻绳跨过一定滑轮, 滑轮视为圆盘, 绳的两端分别悬有质量为 $m_1$ 和 $m_2$ 的物体 1 和 $2, m_1 < m_2$, 如图 3-9 所示. 设滑轮的质量为 $m$, 半径为 $r$. 绳与滑轮之间无相对滑动, 且滑 轮轴处的摩擦可忽略不计. 试求物体的加速度和绳的张力.
​ 0 人点赞 纠错 ​ ​ 4 次查看 ​ 我来讲解
答案：
答案：
解 按题意, 滑轮具有一定的转动惯量, 绳与滑轮之间无相对滑动, 表明绳与滑轮之 间有摩擦, 在绳运动过程带动滑轮转换, 因而, 两边绳子的张力不再相等. 设物体 1 这边 绳的张力为 $F_{\mathrm{T} 1} 、 F_{\mathrm{T} 1}^{\prime}\left(F_{\mathrm{T} 1}^{\prime}=F_{\mathrm{T} 1}\right)$, 物体 2 这边绳的张力为 $F_{\mathrm{T} 2} 、 F_{\mathrm{T} 2}^{\prime}\left(F_{\mathrm{T} 2}^{\prime}=F_{\mathrm{T} 2}\right)$. 因 $m_2>m_1$, 物 体 1 向上运动, 物体 2 向下运动, 滑轮以顺时针方向旋转, $M_r$ 的指向如图 3-9 所示. 按牛 顿运动定律和转动定律可列出下列方程:

$$
\begin{aligned}
& F_{\mathrm{T} 1}-G_1=m_1 a \\
& G_2-F_{\mathrm{T} 2}=m_2 a \\
& F_{\mathrm{T} 2}^{\prime} r-F_{\mathrm{T} 1} r=J \alpha
\end{aligned}
$$
式中 $\alpha$ 是滑轮的角加速度, $a$ 是物体的加速度. 滑轮边 缘上的切向加速度和物体的加速度相等, 即
$$
a=r \alpha
$$
从以上各式即可解得
$$
a=\frac{\left(m_2-m_1\right) g}{m_1+m_2+J / r^2}=\frac{\left(m_2-m_1\right) g}{m_1+m_2+m / 2}
$$
而
$$
F_{\mathrm{T} 1}=m_1(g+a)=\frac{m_1\left(2 m_2+m / 2\right) g}{m_1+m_2+m / 2}
$$

$$
\begin{gathered}
F_{\mathrm{T} 2}=m_2(g-a)=\frac{m_2\left(2 m_1+m / 2\right) g}{m_1+m_2+m / 2} \\
\alpha=\frac{a}{r}=\frac{\left(m_2-m_1\right) g}{\left(m_1+m_2+m / 2\right) r}
\end{gathered}
$$
当不计滑轮质量时,即令 $m=0$ 时,有
$$
F_{\mathrm{T} 1}=F_{\mathrm{T} 2}=\frac{2 m_1 m_2}{m_1+m_2} g, \quad a=\frac{m_2-m_1}{m_2+m_1} g
$$
上题中的装置叫阿特伍德机 (Atwood machine), 是一种可用来测量重力加速度 $g$ 的简 单装置. 因为在已知 $m_1 、 m_2 、 r$ 和 $J$ 的情况下, 能通过实验测出物体 1 和 2 的加速度 $a$, 再 通过加速度把 $g$ 算出来. 在实验中可使两物体的 $m_1$ 和 $m_2$ 相近, 从而使它们的加速度 $a$ 和速度 $v$ 都较小,这样就能较精确地测出 $a$ 来.
关闭页面 下载Word格式