程守洙江之勇主编《普通物理学》-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

质量为 $m$ 的匀质链条, 全长为 $L$, 手持其上端, 使下端离地面的高度为 $h$. 然后放手让它自由下落到地上, 如图 2-8 所示. 求链条落到地上的长度为 $l$ 时, 地面所受链条作用力的大小.

答案：

解设在时刻 $t$ 已有 $x$ 长的链条落到地面, 随后的 $\mathrm{d} t$ 时间内将有 $\mathrm{d} x$ (质量为 $\mathrm{d} m=\frac{m}{L} \mathrm{~d} x$ ) 的链条以速率 $v=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}$ 碰到地面, 设地面对这小段链条的冲力为 $\boldsymbol{F}$, 如果忽略这小段链条的重力, 根据动量定理有

$$
F \mathrm{~d} t=0-\mathrm{d} m v=-\frac{m}{L} v \mathrm{~d} x
$$
得
$$
F=-\frac{m}{L} v \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=-\frac{m}{L} v^2
$$
根据牛顿第三定律, 地面所受链条的冲力 $\boldsymbol{F}=-\boldsymbol{F}$, 即
$$
F^{\prime}=\frac{m}{L} v^2
$$
而 $v^2=2 g(x+h)$, 所以
$$
F^{\prime}=\frac{m}{L} 2 g(x+h)
$$
考虑到落到地面上链条的重量 $G=\frac{m}{L} x g$. 于是, 地面所受链条的作用力为
$$
F_{\text {总 }}=F^{\prime}+G=\frac{2 m(x+h)}{L} g+\frac{m x}{L} g
$$
以 $x=l$ 代人得
$$
F_{\text {总 }}=\frac{m}{L}(3 l+2 h) g
$$

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