程守洙江之勇主编《普通物理学》-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

一飞轮边缘上一点所经过的路程与时间的关系为 $s=v_0 t-\frac{1}{2} b t^2, v_0 、 b$ 都是正的常量.
(1) 求该点在时刻 $t$ 的加速度. (2) $t$ 为何值时, 该点的切向加速度与法向加速度的大小相等? 已知飞轮的半径为 $R$.

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答案：

解 (1) 由题意, 可得该点的速率为
$$
v=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(v_0 t-\frac{1}{2} b t^2\right)=v_0-b t
$$
上式表明,速率随时间 $t$ 而变化,该点作匀变速圆周运动.
为了求该点的加速度, 应从求切向加速度和法向加速度人手. 切向加速度为
$$
a_1=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(v_0-b t\right)=-b
$$
法向加速度为
$$
a_{\mathrm{n}}=\frac{v^2}{R}=\frac{\left(v_0-b t\right)^2}{R}
$$

上式表明,加速度的法向分量 $a_{\mathrm{n}}$ 是随时间 $t$ 改变的. 由上两式可得该点在 $t$ 时刻的加速度, 其大小为
$$
a=\sqrt{a_1^2+a_n^2}=\sqrt{(-b)^2+\left[\frac{\left(v_0-b t\right)^2}{R}\right]^2}=\frac{1}{R} \sqrt{R^2 b^2+\left(v_0-b t\right)^4}
$$
加速度的方向由它和速度间的夹角确定 (图 ) 为
$$
\varphi=\arctan \left[\frac{\left(v_0-b t\right)^2}{-R b}\right]
$$
加速度矢量已标在图上.
（2）因切向加速度不随时间而变,随时间而改变的只是法向加速度, 令两者相等, 即可求得所需时间, 即
$$
\begin{aligned}
& b=\frac{\left(v_0-b t\right)^2}{R} \\
& \sqrt{b R}=\left(v_0-b t\right)
\end{aligned}
$$
于是得
$$
t=\left(v_0-\sqrt{b R}\right) / b
$$

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