题号:6451    题型:解答题    来源:程守洙 江之勇主编《普通物理学》
已知质点的运动学方程$ r=2 t i+\left(6-2 t^2\right) j$ 式中 $\boldsymbol{r}$ 的单位是 $\mathrm{m}, t$ 的单位是 s. (1) 求质点的轨迹, 并作图表示; (2) 求 $t_1=1 \mathrm{~s}$ 和 $t_2=2 \mathrm{~s}$ 之间的 $\Delta \boldsymbol{r} 、 \Delta|\boldsymbol{r}|$ 和平均速度 $\bar{v} ;$; (3) 求 $t_1=1 \mathrm{~s}$ 和 $t_2=2 \mathrm{~s}$ 两时刻的速度和加速度; (4) 在什 么时刻质点离原点最近, 其距离多大?
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答案：
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解 (1) 按题意, 质点在 $O x y$ 平面内运动, 其运动学方程为
$$
x=2 t, y=6-2 t^2
$$
将以上两式消去 $t$, 得质点运动的轨迹方程
$$
y=6-\frac{x^2}{2}
$$
其轨迹为抛物线,如图 所示.


(2) 质点在 $t_1=1 \mathrm{~s}$ 和 $t_2=2 \mathrm{~s}$ 时的位矢分别为
$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{r}_1=(2 \boldsymbol{i}+4 \boldsymbol{j}) \mathrm{m} \\
& \boldsymbol{r}_2=(4 \boldsymbol{i}-2 \boldsymbol{j}) \mathrm{m}
\end{aligned}
$$
所以位移
$$
\Delta \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1=(4 i-2 j) \mathrm{m}-(2 i+4 j) \mathrm{m}=(2 \boldsymbol{i}-6 j) \mathrm{m}
$$
其大小和方向 (与 $O x$ 轴正向间的夹角) 分别为
$$
\begin{gathered}
|\Delta \boldsymbol{r}|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=\sqrt{2^2+6^2} \mathrm{~m}=6.32 \mathrm{~m} \\
\theta=\arctan \frac{\Delta y}{\Delta x}=\arctan \frac{-6}{2}=-71.5^{\circ}
\end{gathered}
$$
而
$$
\begin{aligned}
\Delta|\boldsymbol{r}| & =\Delta r=r_2-r_1=\sqrt{x_2^2+y_2^2}-\sqrt{x_1^2+y_1^2} \\
& =\left[\sqrt{4^2+(-2)^2}-\sqrt{2^2+4^2}\right] \mathrm{m}=0
\end{aligned}
$$
质点的平均速度的大小为
$$
\bar{v}=\frac{|\Delta r|}{\Delta t}=\frac{6.32}{2-1} \mathrm{~m} / \mathrm{s}=6.32 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
$$
方向为 $|\Delta r|$ 的方向, 即与 $O x$ 轴成 $-71.5^{\circ}$

(3) 由运动学方程可得速度和加速度表示式
$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{v}=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathrm{d} t}=2 \boldsymbol{i}-4 t \boldsymbol{j} \\
\boldsymbol{a}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=-4 \boldsymbol{m} / \mathrm{s}^2 \\
t_1=1 \mathrm{~s} \text { 时 }: \boldsymbol{v}_1=(2 \boldsymbol{i}-4 \boldsymbol{j}) \mathrm{m} / \mathrm{s}, \quad a_1=-4 j \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2 . \\
t_2=2 \mathrm{~s} \text { 时 }: \boldsymbol{v}_2=(2 \boldsymbol{i}-8 \boldsymbol{j}) \mathrm{m} / \mathrm{s}, \quad a_2=-4 j \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2 .
\end{gathered}
$$
其大小和方向分别为
$$
\begin{aligned}
& v_1=\sqrt{2^2+(-4)^2} \mathrm{~m} / \mathrm{s}=4.47 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, \quad \theta_1=\arctan \left(-\frac{4}{2}\right)=-63.5^{\circ} \\
& v_2=\sqrt{2^2+(-8)^2} \mathrm{~m} / \mathrm{s}=8.25 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, \quad \theta_2=\arctan \left(\frac{-8}{2}\right)=-76.0^{\circ}
\end{aligned}
$$
$a_1=a_2=4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$, 沿 $O y$ 轴负方向.

(4) 质点离原点的距离就是位矢的量值, 即
$$
r=|\boldsymbol{r}|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(2 t)^2+\left(6-2 t^2\right)^2}
$$
要使质点离原点的距离最近时, 对 $r$ 取极值, 令 $\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{~d} t}=0$, 得
$$
\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{~d} t}=\frac{4 t\left(2 t^2-5\right)}{\sqrt{(2 t)^2+\left(6-2 t^2\right)}}=0
$$
即
$$
4 t\left(2 t^2-5\right)=0
$$
$t=0$ 或 $t=\sqrt{\frac{5}{2}} \mathrm{~s}=1.58 \mathrm{~s}, t=-1.58 \mathrm{~s}$ (舍去)

当 $t=0$ 时, $r_0=6.0 \mathrm{~m}$; 当 $t=1.58 \mathrm{~s}$ 时, $r_0=3.0 \mathrm{~m}$. 显然, 当 $t=1.58 \mathrm{~s}$ 时, 质点距离原点最近, 位置坐标为 $(3.16,1)$.
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