题号:
6417
题型:
单选题
来源:
2023年Kmath网中考数学选择题模拟试题（青春苦涩版）
如图, 已知矩形 $A B C D, A B=8, A D=4$, 点 $E$ 是矩形内部 一动点, 且 $\angle B E C=90^{\circ}$, 点 $P$ 是 $A B$ 边上一动点, 连接 $P D, P E$, 则$P D+P E$ 长度的最小值为
$ \text{A.}$ 8
$ \text{B.}$ $4 \sqrt{5}$
$ \text{C.}$ 10
$ \text{D.}$ $4 \sqrt{5}-2$
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答案：
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A
解析：
【解析】解: 设点 $O$ 为 $B C$ 的中点, 由题意可知, 点 $E$ 在以 $B C$ 为直径的半圆 $O$ 上运动, 作半圆 $O$ 及线段 $B C$ 关于 $A B$ 的对称图形 (半圆 $\left.O^{\prime}\right)$, 点 $O$ 的对称点为 $O^{\prime}$, 点 $E$ 的对称点为 $E^{\prime}$, 连接 $O^{\prime} E^{\prime}, P E^{\prime}$, 则 $P E=P E^{\prime}$,
易知当点 $D, P, E^{\prime}, O^{\prime}$ 共线时, $P D+P E$ 的值最小, 为 $D E^{\prime}$ 的长,
如图所示,
在Rt $\triangle D C O^{\prime}$ 中, $C D=A B=8, C O^{\prime}=6$,
$$
\begin{aligned}
& \therefore D O^{\prime}=10, \\
& \text { 又 } \because O^{\prime} E^{\prime}=2, \\
& \therefore D E^{\prime}=D O^{\prime}-O^{\prime} E^{\prime}=8 \text {, 即 } P D+P E \text { 的最小值为 } 8 .
\end{aligned}
$$
故选： $A$.
根据 $\angle B E C=90$ 得到点的运动轨迹, 利用 “将军饮马” 模型将 $P E$ 进行转化.
本题考查线段和最短问题, 轴对称的性质, 以及圆周角定理等知识, 解题的关键是将 $P E$ 进行转 化.
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