(1)当 $n=2023$ 时, 求 $\left|\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O P_1}+\overrightarrow{O P_2}+\cdots+\overrightarrow{O P_{2023}}+\overrightarrow{O B}\right|$ 的值;
(2)当 $n=4$ 时；
(i)求 $\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{C P_i}+\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{C Q_j}$ 的值(用 $i, j$ 表示);
(ii)求 $\overrightarrow{O P_i} \cdot \overrightarrow{O Q_j}+\overrightarrow{O Q_j} \cdot \overrightarrow{O L_k}+\overrightarrow{O L_k} \cdot \overrightarrow{O P_i}(1 \leq i, j, k \leq 4, i, j, k \in N)$ 的最大值与最小值.

\begin{aligned} & \overrightarrow{O P_{2023}}=\frac{1}{2024} \overrightarrow{O B}+\frac{2023}{2024} \overrightarrow{O C}, \\ & \therefore \overrightarrow{O P_1}+\overrightarrow{O P_2}+\cdots+\overrightarrow{O P_{2023}}=\left(\frac{2023}{2024}+\frac{2022}{2024}+\cdots+\frac{1}{2024}\right) \overrightarrow{O B}+\left(\frac{1}{2024}+\frac{2}{2024}+\cdots+\frac{2023}{2024}\right) \overrightarrow{O C} \\ & =1011 \frac{1}{2} \overrightarrow{O B}+1011 \frac{1}{2} \overrightarrow{O C} \\ & \therefore\left|\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O P_1}+\overrightarrow{O P_2}+\cdots+\overrightarrow{O P_{2023}}+\overrightarrow{O B}\right|=\left|\overrightarrow{O B}+1011 \frac{1}{2} \overrightarrow{O B}+1011 \frac{1}{2} \overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O C}\right| \\ & =1012 \frac{1}{2}|\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}| \\ & \end{aligned}

\begin{aligned} & \therefore O B=\frac{\sqrt{3}}{3} \text {, 且 }\left\langle\overrightarrow{O B}, \overrightarrow{O C}>=120^{\circ},\right. \\ & \therefore|\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}|^2=\overrightarrow{O B}^2+\overrightarrow{O C}^2+2 \overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{O C}=\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2+2 \times \frac{\sqrt{3}}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{3} \times\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{3}, \\ & \text { 则 }|\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}|=\frac{\sqrt{3}}{3}, \\ & \therefore\left|\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O P_1}+\overrightarrow{O P_2}+\cdots+\overrightarrow{O P_{2023}}+\overrightarrow{O B}\right|=1012 \frac{1}{2}|\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}|=\frac{675 \sqrt{3}}{2} ; \end{aligned}
(2) (i ) $\because \triangle A B C$ 为等边三角形, $O$ 为外接圆的圆心, $\therefore \angle O C B=\angle O C A=30^{\circ}$,则 $< \overrightarrow{O C}, \overrightarrow{C P_i}>=150^{\circ},\left\langle\overrightarrow{O C}, \overrightarrow{C Q_j}>=150^{\circ}\right.$,

\begin{aligned} & \therefore C P_i=\frac{5-i}{5}, C Q_j=\frac{j}{5} ; \\ & \therefore \overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{C P_i}+\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{C Q_j}=|\overrightarrow{O C}| \cdot\left|\overrightarrow{C P_i}\right| \cos 150^{\circ}+|\overrightarrow{O C}| \cdot\left|\overrightarrow{C Q_j}\right| \cos 150^{\circ} \\ & =\frac{\sqrt{3}}{3} \times \frac{5-i}{5} \times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\frac{\sqrt{3}}{3} \times \frac{j}{5} \times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{5-i}{10}-\frac{j}{10}=\frac{i-j-5}{10} \end{aligned}

\text { (ii) } \begin{aligned} & \because \overrightarrow{O P_i} \cdot \overrightarrow{O Q_j}=\left(\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{C P_i}\right) \cdot\left(\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{C Q_j}\right)=\overrightarrow{O C}^2+\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{C P_i}+\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{C Q_j}+\overrightarrow{C P_i} \cdot \overrightarrow{C Q_j}, \\ & \therefore \overrightarrow{O P_i} \cdot \overrightarrow{O Q_j}=\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3} \times \frac{5-i}{5} \cos 150^{\circ}+\frac{\sqrt{3}}{3} \times \frac{j}{5} \cos 150^{\circ}+\frac{5-i}{5} \times \frac{j}{5} \cos 60^{\circ} \\ & =\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3} \times \frac{5-i}{5} \times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3} \times \frac{j}{5} \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{5-i}{5} \times \frac{j}{5} \times \frac{1}{2}=-\frac{1}{6}+\frac{5 i-i j}{50} ; \\ & \text { 同理可得: } \overrightarrow{O Q_j} \cdot \overrightarrow{O L_k}=-\frac{1}{6}+\frac{5 j-j k}{50} ; \overrightarrow{O L_k} \cdot \overrightarrow{O P_i}=-\frac{1}{6}+\frac{5 k-k i}{50} ; \\ & \therefore \overrightarrow{O P_i} \cdot \overrightarrow{O Q_j}+\overrightarrow{O Q_j} \cdot \overrightarrow{O L_k}+\overrightarrow{O L_k} \cdot \overrightarrow{O P_i}=-\frac{1}{2}+\frac{5(i+j+k)-(i j+j k+i k)}{50} ; \\ & \text { 令 } S=-\frac{1}{2}+\frac{5(i+j+k)-(i j+j k+i k)}{50}=-\frac{1}{2}+\frac{(5-j-k) i+5(j+k)-j k}{50} \cdots \cdots \end{aligned}

(1)当 $j+k \geq 5$ 时,
$i=1$ 时, $S_{\max }=-\frac{1}{2}+\frac{5+4(j+k)-j k}{50}=-\frac{1}{2}+\frac{5+(4-k) j+4 k}{50}$,
$\because k \leq 4, \therefore j=4$ 时取最大值, 则 $S_{\text {max }}=-\frac{1}{2}+\frac{5+4(4-k)+4 k}{50}=-\frac{4}{50}=-\frac{2}{25}$ ；
$i=4$ 时,$S_{\text {min }}=-\frac{1}{2}+\frac{20+(j+k)-j k}{50}=-\frac{1}{2}+\frac{20+(1-k) j+k}{50}$,
$\because k \geq 1, \therefore j=4$ 时取最小值, 则 $S_{\text {min }}=-\frac{1}{2}+\frac{20+4(1-k)+k}{50}=\frac{-3 k-1}{50}$,

(2)当 $j+k < 5$ 时,
$i=4$ 时, $S_{\text {max }}=-\frac{1}{2}+\frac{20+(j+k)-j k}{50}=-\frac{1}{2}+\frac{20+(1-k) j+k}{50}$,
$\because k \geq 1, \therefore j=1$ 时取最大值, 则 $S_{\text {max }}=-\frac{1}{2}+\frac{20+1-k+k}{50}=-\frac{4}{50}=-\frac{2}{25}$;
$i=1$ 时,$\quad S_{\text {min }}=-\frac{1}{2}+\frac{5+4(j+k)-j k}{50}=-\frac{1}{2}+\frac{5+(4-k) j+4 k}{50}$,
$\because k \leq 4, \therefore j=1$ 时取最小值, 则 $S_{\text {min }}=-\frac{1}{2}+\frac{9+3 k}{50}$,

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