江苏省苏州市2022-2023学年度第二学期高一期中调研试题-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知函数 $f(x)=\sqrt{3} \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)+2 \cos ^2\left(\frac{\omega x}{2}+\frac{\pi}{12}\right)-1,(\omega>0)$ 图象的相邻两对称轴间的距离为 $\frac{\pi}{2}$.
(1)求 $f(x)$ 的解析式;
(2) 将函数 $f(x)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度, 再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ (纵坐标不变), 得到函数 $y=g(x)$ 的图象, 求 $g(x)$ 的单调递减区间.

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答案：

(1) 函数 $f(x)=\sqrt{3} \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)+2 \cos ^2\left(\frac{\omega x}{2}+\frac{\pi}{12}\right)-1$ $=\sqrt{3} \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)+\cos \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)=2 \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)$
因为函数 $f(x)$ 图象的相邻两对称轴间的距离为 $\frac{\pi}{2}$, 所以 $\mathrm{T}=\pi$, 可得 $\omega=2$,
所以 $f(x)=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$;
(2) 将函数 $f(x)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度, 可得 $y=2 \sin \left(2 x+\frac{2 \pi}{3}\right)$ 的图象,
再把 $y=2 \sin \left(2 x+\frac{2 \pi}{3}\right)$ 图象上所有点的横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2}$,
得到函数 $y=2 \sin \left(4 x+\frac{2 \pi}{3}\right)$ 的图象, 故 $g(x)=2 \sin \left(4 x+\frac{2 \pi}{3}\right)$

因为 $\frac{\pi}{2}+2 k \pi \leqslant 4 x+\frac{2 \pi}{3} \leqslant \frac{3 \pi}{2}+2 k \pi(k \in Z)$

解得 $-\frac{\pi}{24}+\frac{1}{2} k \pi \leqslant x \leqslant \frac{5 \pi}{24}+\frac{1}{2} k \pi(k \in Z)$
故 $g(x)$ 的单调递减区间为 $\left[-\frac{\pi}{24}+\frac{1}{2} k \pi, \frac{5 \pi}{24}+\frac{1}{2} k \pi\right](k \in Z)$.

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