江苏省苏州市2022-2023学年度第二学期高一期中调研试题-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知复数 $z_1=2-m^2+(2 m-1) \mathrm{i}, z_2=\lambda+\sin \theta-(1-2 \cos \theta) \mathrm{i}$ (其中 $\mathrm{i}$ 是虚数单位, $\left.m, \lambda \in R\right)$.
(1)若 $z_1$ 在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上, 求实数 $m$ 的值;
(2)若 $z_1=z_2$, 求实数 $\lambda$ 的取值范围.

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答案：

解: (1) 因为 $z_1=2-m^2+(2 m-1) \mathrm{i}$ 在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上
$$
\therefore\left\{\begin{array}{l}
2-m^2=2 m-1 \\
2 m-1 < 0
\end{array}\right.
$$
解得 $\left\{\begin{array}{l}m=-3 \text { 或 } m=1 \\ m < \frac{1}{2}\end{array}\right.$, 故 $m=-3$;

(2) $\because z_1=z_2, \quad \therefore\left\{\begin{array}{l}2-m^2=\lambda+\sin \theta \text { (1) } \\ 2 m-1=2 \cos \theta-1 \text { (2) }\end{array}\right.$
由(2)可得 $m=\cos \theta$, 代入(1)式整理得 $-\cos ^2 \theta-\sin \theta+2=\lambda$
即 $\lambda=\left(\sin \theta-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}$
由 $\sin \theta \in[-1,1]$, 所以 $\lambda \in\left[\frac{3}{4}, 3\right]$.

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