答案：
解: (1) $a b$ 棒达到最大速度时, 以 $c d$ 棒为研究对象, 受力平衡
$B I_{c d} L=m g \sin \theta$
以 $a b$ 棒和重物 $W$ 为研究对象, 此时受力分析得
$M g=m g \sin \theta+B I_{a b} L$
根据欧姆定律 $I_{a b}=2 I_{c d}$
联立解得: $M=\frac{3}{2} m$
根据闭合电路欧姆定律 $E=I_{a b} R_{\text {总 }}$
其中 $R_{\text {总 }}=R+\frac{1}{2} R=\frac{3}{2} R$
根据法拉第电磁感应定律 $E=B L v_{\max }$
联立解得 $v_{\text {max }}=\frac{3 m g R}{2 B^2 L^2}$
(2) 对该系统根据能量守恒有
$$
M g x-m g x \sin \theta=\frac{1}{2}(M+m) v_{\max }^2+Q_{\text {总 }}
$$
其中电阻 $R$ 上产生的焦耳热 $Q_R=\frac{1}{6} Q_{\text {总 }}$
解得: $Q_R=\frac{1}{6} m g x-\frac{15 m^3 g^2 R^2}{32 B^4 L^4}$
(3) 设此过程中绳子的平均张力为 $\bar{F}$, 对重物 $W$, 由动量定理得:
$$
M g t-\bar{F} t=M v_{\max }
$$
对 $a b$ 棒, 由动量定理得:
$$
\bar{F} t-(m g \sin \theta) \cdot t-B \overline{I_{a b}} L \cdot t=m v_{\max }
$$
其中 $\overline{I_{a b}}=\frac{\bar{E}}{R_{\text {总 }}}=\frac{\Delta \Phi}{R_{\text {总 }} t}=\frac{B L x}{R_{\text {总 }} \cdot t}$
联立解得: $t=\frac{15 m R}{4 B^2 L^2}+\frac{2 B^2 L^2 x}{3 m g R}$