如图甲所示, 直角坐标系 $xOy$ 位于坚直平面内且 $x$ 轴沿水平方向，其第二 象限内有一对平行金属板 $A、B$, 两板相距为 $d$, 两板之间有方向平行于板面并垂直于纸面 向外的匀强磁场, 砡感应强度大小为 $B_1$, 第一象限某一矩形区域内存在垂直纸面向里的匀 强䄸场, 磁感应强度大小为 $B_2$, 第四象限存在一末知电场。第三象限存在垂直纸面向里的 匀强磁场, 磁感应强度大小为 $B_3$, 在竖直方向存在交变电场, 将一个倾角为 $\theta$ 的绝缘斜面放 置在此空间中。已知大量带电荷量均为 $-q$ 的带电粒子从平行金属板左侧沿 $x$ 轴正方向以相 同的速度 $v_0$ 飞入平行金属板 $A、B$ 之间, 稳定后, 某一质量为 $m$ 的带电离子能沿平行金属 板中心线射出, 经过第一象限的磁场偏转后进入第四象限末知电场做匀减速直线运动, 恰好 沿斜面进入第三象限, 此时粒子速度为 0 , 且此后一直在第三象限内运动, 取带电粒子刚进 入斜面时为 $t=0$ 时刻, 电场变化如图乙所示, 电场方向坚直向上为正, 场强大小为 $E_0$, 已 知 $B_3$ 的大小数值上等于 $\frac{2\pi m}{q}$, 且题中 $d、B_1、B_2、q、m、v_0、E_0$ 为已知量, 不计带电粒子的 重力及粒子间的相互作用, 则
(1)求称定后两金属板之间的电势差 $U_{AB}$ :
(2)求带电粒子在第一象限磁场中做圆周运动的半径 $r_2$ :
(3)求第一象限内磁场的最小面积 $S_{min}$ 与斜面倾角 $\theta$ 的函数关系式;
(4)若带电粒子在第 $19\mathrm{s}$ 内恰好没有㼘开斜面, $19\mathrm{s}$ 后电场变为垂直斜面向上的匀强电 场, 电场大小变为 $\frac{3}{4}{E}_0\cos \theta$, 并在斜面末端安装一垂直斜面的菼光屏 $CE$ 。已知带电粒子在 电场变化后的 $\frac{1}{4}\mathrm{s}$ 内打在䓎光屏上, 且与 $C$ 点的距离为 $\frac{q{E}_0\cos \theta }{32{\pi }^{2}m}$, 求 $19\mathrm{s}$ 末带电粒子与斜面 底端 $C$ 点的距离 $L$ (计算结果用角度关系表示)。